Questão 22

UNESP 2016

Matemática

(Unesp 2016/2 - 2 fase) Em um plano cartesiano ortogonal são dadas uma reta d, de equação x = -3, e um ponto F, de coordenadas (-1,2). Nesse plano, o conjunto dos pontos que estão à mesma distância do ponto F e da reta d forma uma parábola. Na figura, estão nomeados dois pontos dessa parábola: o vértice V, de coordenadas (-2,2), e o ponto P, de coordenadas (0, y_p).

Determine as coordenadas de dois pontos quaisquer dessa parábola que sejam diferentes de V e de P. Em seguida, calcule y_p.

Gabarito:

Resolução:

A distância do foco até a reta diretriz(parâmetro) será;

$d(V.F)=-1-(-2)=1$

a equação da parábola será:

$(y-y_{v})^{2}=2pcdot(x-x_{v})$

$(y-2)^{2}=4cdot(x+2)$

Vamos usar x=-1 para determinar dois pontos da parábola que sejam diferentes de V e P:

$(y-2)^{2}=4cdot(-1+2)$

$y^{2}-4y+4=4$

$y={1}=0;e;y_{2}=4$

Logo, teremos os pontos (-1,0) e (-1,4)

Vamos encontraryp:

sendo x=0, temos:

$(y-2)^{2}=4(0+2)$

$(y-2)^{2}=8$

$y=2pmsqrt{8}$

como sabemos que o ponto P tem y>0 o y que estamos procurando é:

$y=2+sqrt{8}$

Logo,

$y_{p}=(0,2+sqrt{8})$

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