Questão 87

UNESP 2017

Matemática

(UNESP - 2017/2 - 1ª fase) Um cone circular reto, de vértice V e raio da base igual a 6 cm, encontra-se apoiado em uma superfície plana e horizontal sobre uma geratriz. O cone gira sob seu eixo de revolução que passa por V, deslocando-se sobre a superfície plana horizontal, sem escorregar, conforme mostra a figura

O cone retorna à posição inicial após o círculo da sua base ter efetuado duas voltas completas de giro. Considerando que o volume de um cone é calculado pela fórmula $small frac{picdot r^2cdot h}{3}$ , o volume do cone da figura, em cm³ , é igual a

$72sqrt{3}pi$

$48sqrt{3}pi$

$36sqrt{3}pi$

$18sqrt{3}pi$

$12sqrt{3}pi$

Gabarito:

$72sqrt{3}pi$

Resolução:

Se o cone gira duas vezes antes de completar a volta, temos que o comprimento da cincunferência é duas vezes o comprimento da circunferência da base do cone:

$2pi R = 2left(2pi r ight )$

$R = 2r$

$R = 2.6 = 12$

Sabemos que R é a hipotenusa do triângulo retângulo que forma esse cone por revolução. Com isso podemos encontrar a atura do cone:

Por pitágoras:

$r^{2}+ h^{2} = R^{2}$

$36+ h^{2} = 144$

$h = sqrt{108}$

$h = 6sqrt{3}$

Calculando o volume do cone agora:

$V = frac{1}{3}pi r^{2} h$

$V = frac{1}{3}pi 36.6sqrt{3}$

$V = 72sqrt{3} pi$

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