Questão 88
UNESP 2022
(UNESP - 2022 - 1ª fase - DIA 1)
Em um jogo, com dois jogadores (A e B) e a banca, gira-se a roda indicada na figura, até que ela pare aleatoriamente em um dos 100 números naturais positivos e consecutivos, que são equiprováveis.
(https://spinthewheel.app. Adaptado.)
As regras do jogo são:
1) se sair um múltiplo de 3, o jogador A ganha o prêmio;
2) se sair um múltiplo de 4 ou 6, o jogador B ganha o prêmio;
3) se sair um número que implique na vitória de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, A e B repartem o prêmio;
4) se sair um número que implique em derrota de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, a banca ganha o prêmio. Em cada rodada, a probabilidade da banca do jogo ganhar o prêmio é de
50%.
42%.
56%.
58%.
66%.
Gabarito:
50%.
Resolução:
A banca ganha quando nenhum dos jogadores ganha. O jogador A ganha toda vez que sai um número múltiplo de e o jogador B toda vez que temos um múltiplo de
ou
, note que ao sair um múltiplo de
necessariamente o jogador A também estará ganhando, já que todo múltiplo de 6 é também múltiplo de
.
Vamos olhar para os primeiros números:
- Se sair
a banca ganhará;
- Se sair
a banca também ganha;
- Se o resultado for
, o jogador A ganhará;
- Se o resultado for
, o jogador B ganhará;
- Se sair
a banca ganhará;
- Se sair
, ambos os jogadores ganharão;
- Se o resultado for
a banca ganhará;
- Se o resultado for
, o jogador B ganhará;
- Se sair
, o jogador A ganhará;
- Se sair
a banca que ganhará;
- Se o resultado for
a banca também ganhará;
- Se o resultado for
, ambos os jogadores ganharão.
E esse ciclo irá se repetir a cada números. Nesse ciclo a banca está ganhando metade das vezes, ou seja, ela tem
de chance de ganhar. Temos então essa mesma lógica até o número
. Basta olharmos para os próximos números restantes:
- Se sair
a banca ganhará;
- Se sair
a banca também ganha;
- Se o resultado for
, o jogador A ganhará;
- Se o resultado for
, o jogador B ganhará;
Nesses últimos números, a chance da banca ganhar também é de
. Note que como os números são consecutivos, isso valerá independentemente de qual número começarmos, o ciclo de
numeros continuará valendo e com a mesma probabilidade da banca ganhar, assim como os
números finais.
Portanto a probabilidade final da banca ganhar será exatamente de .