Questão 49477

UNICAMP 2003

Matemática

(UNICAMP - 2003 - 2 fase - Questão 9)

O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: $T(t)=T_{A}+alpha3^{eta t}$ , onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, T_A é a temperatura ambiente, suposta constante, e e são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de –18ºC. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0 °C após 90 minutos e chegou a –16°C após 270 minutos.

a) Encontre os valores numéricos das constantes $alpha$ e $eta$ .

b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas $frac{2 }{3} ºC$ superior à temperatura ambiente.

Gabarito:

Resolução:

Em graus Celsius, temos:

$\ T(t) = T_{A} + alpha . 3^{eta t } \ \ T_{A} = -18$

Sendo essa a temperatura ambiente do congelador, portanto, temos:

$Para t = 90, temos:$

$0\ T(90) = -18 + alpha . 3^{eta .90 } = 0 \ \ alpha . 3^{eta .90 } = 18$

II)

Para t = 270, temos:

$\ T(270) = -18 + alpha . 3^{eta . 270} = -16 \ \ alpha . 3^{eta .270 } = 2$

Temos que as equações I e II, tem -se:

$\ frac{alpha . 3^{270 eta}}{alpha. 3^{90eta}} = frac{2}{18} \ \ 3^{180 eta }= frac{1}{9} \ \ 180eta = -2 \ \ eta = - frac{1}{90 } \ \ alpha . 3^{- frac{1}{90}.90} = 18 \ \ alpha = 54$

b) Nas condições do enunciado, temos:

$alpha = 54 e eta = - frac{1}{90}, temos$

$\ T(t) = T_{A} + frac{2}{3} \ \ T_{A} + alpha. 3^{eta t} = T_{A} + frac{2}{3}$

$\ alpha. 3^{eta t} = frac{2}{3} \ \ 54. 3^{- frac{t}{90}}= frac{2}{3} \ \3^{frac{-t}{90}} = 3^{-4} \ \ t = 360$

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