Questão 10

UNICAMP 2005

Matemática

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 10)

Um número complexo z = x + iy , z 0 , pode ser escrito na forma trigonométrica: $z=left | z ight |^{2}(cos: k heta +isen: k heta)$ , onde $left [ z ight ]=sqrt{x^{2}+y^{2}}: : ,: : cos heta=x/left | z ight |$ e $sen heta=y/left | z ight |$ . Essa forma de representar os números complexos não-nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:

$[left | z ight |left (cos heta +isen heta ight )]^{k}=left | z ight |^{k}left (cos heta +isen heta ight )$

que é válida para todo k Z . Use essas informações para:

a) Calcular $sqrt{3+i}^{12}$

b) Sendo $z=frac{sqrt{2}}{2}+ifrac{sqrt{2}}{2}$ , calcular o valor de $1+ z + z^{2} + z^{3} +... + z^{15} .$

Gabarito:

Resolução:

$\ z = sqrt{3} +i \ \ |z| = sqrt{sqrt{3}^{2} +1^{2} } = sqrt{4} = 2$

$\ cos( heta) = frac{sqrt{3}}{2} \ \ sen ( heta) = frac{1}{2}\ \ 0 < heta < 360$

$heta = 30$

Então,

$z = 2 [cos(30) + i sen(30)]$

$z ^{12} , temos:$

$\ z ^{12} = 2^{12} [cos(12.30)+ i (sen(12. 30))] = 4096 [cos(360 ) + i sen(360)] \ \ 4096 [1+i.0] = 4096$

Podemos notar que a soma dos termos de uma PG, com o primeiro termo é igual a 1 e razão z, temos:

$\ 1 + z + z^{2} + z^{3} + ... + z^{15} = frac{z^{16} -1}{z-1}$

Então:

$z = frac{sqrt{2}}{2} + frac{sqrt{2}}{2} i = cos (frac{pi}{4}) + i sen(frac{pi}{4})$

$z^{16} = cos(4 pi + i sen(4 pi )) = 1 + i.0 = 1$

Com isso, temos:

$1 + z + ... + z^{15} = frac{1-1}{z-1} = 0$

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