Questão 3

UNICAMP 2007

Matemática

(UNICAMP - 2007) Por norma, uma folha de papel A4 deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4 com 0,1mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio, de forma que a dobra é sempre perpendicular à maior dimensão resultante até a dobra anterior.
a) Escreva a expressão do termo geral da progressão geométrica que representa a espessura do papel dobrado em função do número k de dobras feitas.
b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o papel seis vezes, quais serão as dimensões do paralelepípedo?

Gabarito:

Resolução:

A espessura após a primeira dobra pode ser obtida pelos termos de uma PG:

$( 0,2 ; 0,4; 0,8; cdots ; a_{k} ; cdots)$ onde a_krepresenta a espessura após a k-ésima dobra, tal que:

$a_{k} = 0,2 cdot 2^{k-1} = 0,1 cdot 2^{k}$

Após a k-ésima dobra, as dimensões do paralelepípedo são mostradas no esquema abaixo:

1ª dobra: 297/2 x 210
2ª dobra: 297/2 x 210/2
3ª dobra: 297/4 x 210/2
4ª dobra: 297/4 x 210/4
5ª dobra: 297/8 x 210/4
6ª dobra: 297/8 x 210/8

Logo:

$frac{297}{8} = 37,125 e frac{210}{8} = 26,25$

E, por fim, calculamos a₆:

$a_{6} = 0,1 cdot 2^{6} = 0,1 cdot 64 = 6,4 mm$

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