Questão 7

UNICAMP 2007

Matemática

(UNICAMP - 2007) Na execução da cobertura de uma casa, optou-se pela construção de uma estrutura, composta por barras de madeira, com o formato indicado na figura abaixo.

Resolva as questões abaixo supondo que $alpha$ = 15º. Despreze a espessura das barras de madeira e não use aproximações nos seus cálculos.
a) Calcule os comprimentos b e c em função de a, que corresponde ao comprimento da barra da base da estrutura.
b) Assumindo, agora, que a = 10m, determine o comprimento total da madeira necessária para construir a estrutura.

Gabarito:

Resolução:

a) Para um ângulo igual a 15º temos que:

$sen15^{circ} = sen (45^{circ} - 30^{circ})$

Utilizando de relações trigonométricas podemos chegar no valor desse seno.

$sen (45^{circ} - 30^{circ}) = sen 45^{circ} cdot cos 30^{circ} - cos 45^{circ} cdot sen 30 ^{circ} = frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}$

$cos (45^{circ} - 30^{circ}) = cos 45^{circ} cdot cos 30^{circ} + sen 45^{circ} cdot sen 30^{circ} = frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}$

Considere o seguinte diagrama:

$cos 15^{circ} = frac{frac{a}{2}}{b}$

$b = frac{a}{2 cdot (frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4})} = frac{a(sqrt{6}-sqrt{2})}{2}$

Agora, considere esse diagrama:

$sen 15^{circ} = frac{c}{frac{b}{2}} Rightarrow c = frac{b cdot sen15^{circ}}{2}$

$c = frac{a cdot (frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{2})cdot (frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4})}{2}$

$c = frac{a cdot (2 - sqrt{3})}{4}$

b) Assumindo a = 10 m, resulta que:

$b = 5 cdot (sqrt{6}-sqrt{2})$

$c = frac{5(2 - sqrt{3})}{2}$

Como na estrutura, todas as dimensões indicadas abaixo, o comprimento total da madeira necessária para construir a estrutura é:

$3b + 4c + a = 15 cdot (sqrt{6}-sqrt{2}) + 10 (2-sqrt{3}) + 10$

$= 5 cdot (6+sqrt{6}-2sqrt{3} -3sqrt{2})$

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