Questão 10

UNICAMP 2007

Matemática

(UNICAMP - 2007) O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função $mathrm{P(t) = P_0 cdot 2^{-bt}}$ , onde t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P₀ é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0.

a) Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto é, se a meia-vida do estrôncio 90 é de 29 anos, determine o valor da constante b.
b) Dada uma concentração inicial P₀, de estrôncio 90, determine o tempo necessário para que a concentração seja reduzida a 20% de P₀. Considere $log_210 approx 3.32$

Gabarito:

Resolução:

Se a meia vida do estrôncio 90 é de 29 anos, equacionamos:

$P_{0} cdot 2^{-b cdot 29} = frac{1}{2} P_{0}$

$2^{-29b} = 2^{-1}$

$oxed {b = frac{1}{29}}$

Equacionando para uma redução de concentração até 20%:

$P_{0} cdot 2^{-frac{1}{29}t} = 0,2 P_{0}$

Aplicando um logaritmo de base 2 dos dois lados:

$- frac{1}{29} t = log _{2} frac{2}{10}$

$t = -29 (1-log_{2}10) approx -29 cdot (1-3,32) approx 29 cdot 2,32$

$t approx 67,28 anos$

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