Questão 12

UNICAMP 2007

Matemática

(UNICAMP - 2007) Seja ABCDA₁B₁C₁D₁um cubo com aresta de comprimento 6 cm e sejam M o ponto médio de BC e O o centro da face CDD₁C₁, conforme mostrado na figura abaixo

a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a reta PO intercepta CC₁ e DD₁ em K e L, respectivamente, calcule os comprimentos dos segmentos CK e DL.
b) Calcule o volume do sólido com vértices A, D, L, K, C e M.

Gabarito:

Resolução:

a) ABM e PCM são congruentes, logo PC = AB = 6 cm.

PCK e PNO são semelhantes:

$frac{CK}{ON } = frac{PC}{PN}$

$frac{CK}{3} = frac{6}{9} Rightarrow CK = 2 cm$

PNO e PDL são semelhantes:

$frac{DL}{ON} = frac{PD}{PN}$

$frac{DL}{3} = frac{12}{9} Rightarrow DL = 4 cm$

Considerando como V o volume do sólido ADLKCM, tem-se que:

$V = V_{PDLA} - V_{PCKM}$

$V = frac{1}{3} cdot frac{6 cdot 4}{ 2} cdot 12 - frac{1}{3} cdot frac{3 cdot 2}{2} cdot 6 = 42$

Logo, V = 42 cm³

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