Questão 11

UNICAMP 2009

Matemática

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questão 11)

A circunferência de centro em (2, 0) e tangente ao eixo y é interceptada pela circunferência C, definida pela equação $x^2 + y^2 = 4$ , e pela semi-reta que parte da origem e faz ângulo de 30º com o eixo-x, conforme a figura abaixo.

a) Determine as coordenadas do ponto P.

b) Calcule a área da região sombreada.

Gabarito:

Resolução:

(I) A equação da circunferência de centro (2,0), tangente ao eixo y (raio 2) é:

$(x-2)^{2} + y^{2} = 4$

(II) A reta que passa pela origem com inclinação igual a 30º ( isto é, coeficiente angular igual a tg 30º) é:

$y = frac{sqrt{3}}{3} cdot x$

(III) O ponto P, intersecção da circunferência com a reta, é obtido pela solução analítica do sistema:

$left{egin{matrix} (x-2)^{2} + y^{2} = 4 & \ y = frac{sqrt{3}}{3}x& end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} x = 0 & \ y = 0 & end{matrix} ight. ou left{egin{matrix} x = 3& \ y = sqrt{3}& end{matrix} ight.$

Como P é do primeiro quadrante, suas coordenadas serão $P = (3, sqrt{3})$

b) As duas circunferências têm raios iguais a 2 e centros iguais a (0,0) e (2,0), respectivamente.

Pela figura:

1 -

$C_{1}C_{2} = 2$

$C_{1}M = C_{2}M = 1$

2 -

$AC_{1} = BC_{1} = 2$

3 -

$Delta AMC_1 = Delta BMC_{2}$ são triângulos retângulos, portanto $AM = BM = sqrt{3}$ e os ângulos $Mhat{C_{1}}A = Mhat{C_{1}}B = 60 ^{circ}$

4 -

A área do segmento circular AC₂B é igual à área do setor circular menos a área do triângulo ABC₁, isto é:

$A_{1} = frac{1}{3}pi cdot 2^{2} - frac{2sqrt{3}}{2} = frac{4pi}{3} - sqrt{3}$

5 -

A área da região sombreada será igual à área do círculo de raio 2, menos 2 vezes a área do segmento circular obtido em (4):

$A = 2^{2} pi - 2A_{1}$

$A = 4pi - 2 cdot (frac{4pi}{3}-sqrt{3}) = frac{4pi}{3} +2sqrt{3}$

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