Questão 12

UNICAMP 2009

Matemática

(UNICAMP - 2009 - 2 FASE - Questão 12)

Seja $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + cdot cdot cdot + a_1x+a_0$ um polinômio de grau $n$ tal que a $a_n eq 0$ e $a_j varepsilon IR$ para qualquer $j$ entre 0 e $n$ . Seja $g(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} +cdot cdot cdot + 2a_2x + a_1$ o polinômio de grau $n-1$ em que os coeficientes $a_1, a_2, cdot cdot cdot, a_n$ são os mesmos empregados na definição de f(x).

a) Supondo que n = 2, mostre que $g(x + frac {h}{2}) = frac {f(x + h) - f(x)}{h}$ , para todo $x$ , $h varepsilon IR$ , $h eq 0$ .

b) Supondo que n = 3 e que $a_3 = 1$ , determine a expressão do polinômio f(x), sabendo que f(1) = g(1) = f(–1) = 0.

Gabarito:

Resolução:

a) $Para n = 2, x in mathbb{R} e h in mathbb{R}^{ast} :$

1) $f(x) = a_{2} cdot x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ e $g(x) = 2a_{2}x + a_{1}$

2) $g(x+frac{h}{2}) = 2a_{2} (x+frac{h}{2}) + a_{1}$

$= 2a_{2}x + a_{2} h + a_{1}$

$frac{f(x+h)-f(x)}{h} =$

$= frac{a_{2}(x+h)^{2}+a_{1}cdot (x+h) + a_{0} - (a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0})}{h}$

$= frac{a_{2}x^{2}+2a_{2}xcdot h +a_{2}cdot h^{2}+a_{1}x+a_{1}h + a_{0}-a_{2}cdot x^{2}-a_{1}x - a_0}{h}$

$= frac{2a_{2}x cdot h + a_{2}cdot h^{2}+a_{1}h}{h}$

$= 2 cdot a_{2} cdot x + a_{2} cdot h + a_{1} = g(x + frac{h}{2})$

b) Para n = 3 e a₃= 1, tem se:

$f(x) = x^{3} + a_{2} cdot x_{2} + a_{1}x + a_{0}$ e $g(x) = 3x^{2} + 2a_{2} x + a_{1}$

sabendo que f(1) = g(1) = f(-1) = 0:

$left{egin{matrix} 1 + a_{2} + a_{1} + a_{0} = 0& \ 3 + 2a_{2}+a_{1} = 0& \ -1 +a_{2}-a_{1} + a_{0} = 0& end{matrix} ight.$

$left{egin{matrix} a_{0} = 1 & & \ a_{1} = -1 & & \ a_{2} = -1& & end{matrix} ight.$

Assim:

$f(x) = x^{3} -x^{2} - x + 1$

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