Questão 20

UNICAMP 2011

Matemática

(UNICAMP - 2011) Uma placa retangular de madeira, com dimensões 10 x 20 cm, deve ser recortada conforme mostra a figura ao lado. Depois de efetuado o recorte, as coordenadas do centro de gravidade da placa (em função da medida w) serão dadas por

$x_{CG}(w) = frac{400-15w}{80-2w} quad e quad y_{CG}(w)=frac{400+(w-20)^2}{80-2w}$

em que $x_{CG}$ é a coordenada horizontal e $y_{CG}$ é a coordenada vertical do centro de gravidade, tomando o canto inferior esquerdo como a origem.

a) Defina A(w), a função que fornece a área da placa recortada em relação a w. Determine as coordenadas do centro de gravidade quando A(w) = 150 cm² .

b) Determine uma expressão geral para $w(x_{CG})$ , a função que fornece a dimensão w em relação à coordenada $x_{CG}$ , e calcule $y_{CG}$ quando $x_{CG}$ = 7/2 cm.

Gabarito:

Resolução:

$(I) A(w) = 20 cdot 10 - 5w$

$(I): A(w) = 200 - 5w$

$(II) A(w) = 150 Rightarrow 150 = 200 - 5w Rightarrow w = 10 cm$

Sabendo que $w = 10$ e que:

$x_{CG} = frac{400 -15w}{80 - 2w}$ ; $y_{CG} = frac{400+(w-20)^{2}}{80-2w}$

Temos que:

$x_{CG} = frac{400-15 cdot 10}{80 -2cdot 10} = frac{250}{60} = frac{25}{6} cm$

$y_{CG} = frac{400+(10-20)^{2}}{80 - 2 cdot 10} = frac{500}{60} = frac{25}{3} cm$

b) $1) x_{CG} = frac{400 - 15w}{80-2w}$

$80 cdot x_{CG} - 2 w x_{CG} = 400 - 15w$

$w (15-2x_{CG}) = 400-80x_{CG}$

$w = frac{400-80 cdot x_{CG}}{15 - 2x_{CG}}$

$w(x_{CG}) = frac{400-80 x_{CG}}{15-2x_{CG}}$

2) $x_{CG} = frac{7}{2} Rightarrow w = frac{400-80 cdot frac{7}{2}}{15-2 cdot frac{7}{2}} = 15 cm$

3) $w = 15 ightarrow y_{CG} = frac{400 +(15-20)^{2}}{80-2 cdot 15} = 8,5 cm$

Assim:

a) $A_{w} = 200 - 5 w, x_{CG} = frac{25}{6} cm; y_{CG} = frac{25}{3} cm$

b) $w(x_{CG}) = frac{400-80c_{CG}}{15 - 2 cdot x_{CG}} e y_{CG} = 8,5 cm$

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