Questão 19

UNICAMP 2014

Matemática

Dizemos que uma sequência de números reais não nulos (a₁, a₂, a₃ ,a₄...) é uma progressão harmônica se a sequência dos inversos (1/a₁, 1/a₂, 1/a₃ ,1/a₄...) é uma progressão aritmética (PA).

a) Dada a progressão harmônica (2/5, 4/9, 1/2, ...) , encontre o seu sexto termo.

b) Sejam a, b e c termos consecutivos de uma progressão harmônica. Verifique que b = 2ac/(a + c)

Gabarito:

Resolução:

A) ao analisarmos os inversos dos harmonicos temos a sequencia $left ( frac{5}{2} , frac{9}{4}, frac{1}{2} cdots ight )$ , ao realizar a diferença entre qualquer dois termos subsequentes descobrimos que a razão da PA é $-frac{1}{4}$ , portanto, o sexto termo é :

$frac{1}{a_6} = frac{5}{2} - 5cdotfrac{1}{4} = frac{5}{4}$

$a_6 = frac{4}{5}$

B) $left ( a,b,c ight )$ termos de uma progressão harmonica implica $left ( frac{1}{a},frac{1}{b},frac{1}{c} ight )$ é PA.

Isso implica que $frac{1}{b} - frac{1}{a} = frac{1}{c} -frac{1}{b}$

$frac{1}{a} + frac{1}{c} = frac{2}{b}$

$frac{a+c}{ac} = frac{2}{b}$

$b = frac{2ac}{a+c}$

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