Questão 21

UNICAMP 2014

Matemática

A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser expressa pela função h(t) = 0,5 + log₃(t + 1), onde o tempo t $geq$ 0 é dado em anos.

a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m?

b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta g(t) = h(3t + 2). Verifique que a diferença g(t) - h(t) é uma constante, isto é, não depende de t.

Gabarito:

Resolução:

A) $left{egin{matrix} 0,5 = 0,5 + log_3(t+1)\ 1,5 = 0,5 + log_3(t+1) end{matrix} ight.$

Resolvendo a primeira equação chegamos a $log_3(t+1) = 0 ightarrow t+1=1 ightarrow t=0$ .

Já resolvendo a segunda temos que $log_3(t+1) = 1 ightarrow t+1=3 ightarrow t=2$

Portanto, leva um periodo de $2$ para o arbusto crescer.

B) Usando $t = 3t +2$ em $t = 3t +2$ temos que:

$h(3t+2) =0,5+log_3 (3t+3)$

Fazendo a diferença, temos que :

$g(t) - h(t) = log_3(3t+1) - log_3(t+1) = log_3 left ( frac{3(t+1)}{t+1} ight )$

$g(t) - h(t) = log_33 = 1$

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