Questão 70
UNICAMP 2019
(UNICAMP - 2019 - 1ª FASE) Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais, considere o polinômio cúbico 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑥 + 𝑏. Se a soma e o produto de duas de suas raízes são iguais a −1, então 𝑝(1) é igual a
0.
1.
2.
3.
Gabarito:
3.
Resolução:
P(x) = x3 + ax2 + x + b
Sejam x1, x2 e x3 as raízes sem perda de generalidade, temos:
Por outro lado, as relações de Girard nos dos:
S1 = (-1)1
=
= -a = x1 + x2 + x3
S3 = (-1)3
=
= -b = x1 x2 x3
Então:
x1 + x2 + x3 = -a -1 + x3 = -a
x3 = -a + 1
x1 x2 x3 = -b -x3 = -b
x3 = b
Da igualdade, temos -a + 1 = b a + b = 1
P(1) = 13 + a 12 + 1 + b = 1 + a + 1 + b
P(1) = 2 + a + b = 2 + 1 = 3