Questão 8

UNICAMP 2019

Matemática

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 2)

A figura abaixo representa um dado na forma de um tetraedro regular com os vértices numerados de 1 a 4. Em um lançamento desse dado, deve ser observado o número estampado no vértice superior.

a) Considere a soma dos números obtidos em dois lançamentos de um dado tetraédrico. Determine de quantas maneiras essa soma pode resultar em um número primo.

b) Seja $p_{n}$ a probabilidade de se observar o número n no lançamento de um dado tetraédrico tendencioso para o qual $p_{1} = 2p_{2} = 3p_{3} = 4p_{4}$ . Calcule essas quatro probabilidades.

Gabarito:

Resolução:

Assunto: Análise Combinatória

a) Para 2 lançamentos temos como máxima soma possível o número 8 (4 + 4).

De 1 a 8, portanto os números primos são 2, 3, 5, 7. Além disso, para cada um deles temos os seguintes casos possíveis:

Para o 2 $Rightarrow$ $egin{Bmatrix} (1, 1) end{Bmatrix}$ $Rightarrow$ 1 caso
Para o 3 $Rightarrow$ $egin{Bmatrix} (1, 2) ; & (2, 1) end{Bmatrix}$ $Rightarrow$ 2 casos
Para o 5 $Rightarrow$ $egin{Bmatrix} (1, 4) & (2, 3) & (3, 2) & (4, 1) end{Bmatrix}$ $Rightarrow$ 4 casos
Para o 7 $Rightarrow$ $egin{Bmatrix} (3, 4) & (4, 3) end{Bmatrix}$ $Rightarrow$ 2 casos

Logo, temos 9 maneiras de se resultar um número primo.

b) 1) O resultado de um único lançamento pode ser 1, 2, 3 ou 4. Logo:

$p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{4} = 1$

Do enunciado: $p_{1} = 2p_{2} = 3p_{3} = 4p_{4}$

$herefore$ $p_{2} = frac{1}{2} p_{1}$ ; $p_{3} = frac{1}{3} p_{1}$ ; $p_{4} = frac{1}{4} p_{1}$

Logo: $p_{1} + frac{1}{2} p_{1} + frac{1}{3} p_{1} + frac{1}{4} p_{1} = 1$

$p_{1} left [ 1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} ight ]$ $= 1 Rightarrow$ $p_{1} = frac{12}{25}$

E, consequentemente: $p_{2} = frac{6}{25}$ $p_{3} = frac{4}{25}$ $p_{4} = frac{3}{25}$

Questões relacionadas

Questão 61

(UNICAMP - 2019 - 1ª FASE) A representação decimal de certo número inteiro positivo tem dois algarismos. Se o triplo da soma desses algarismos é igual ao pr&oacut...

Ver questão

Questão 62

(UNICAMP - 2019 - 1ª FASE) O sistema de segurança de um aeroporto consiste de duas inspeções. Na primeira delas, a probabilidade de um passageiro ser inspecionado &eacut...

Ver questão

Questão 63

(UNICAMP - 2019)Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais positivos. Considere a função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏), definida para todo número real 𝑥. No plano cartesiano, qual...

Ver questão

Questão 65

(UNICAMP - 2019 - 1ª FASE)No triângulo ABC exibido na figura a seguir, AD é a bissetriz do ângulo interno em 𝐴, e . O ângulo interno em 𝐴 é igual a &nbs...

Ver questão