Questão 9

UNICAMP 2019

Matemática

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 3)

Sabendo que c é um número real, considere a função quadrática $f(x) = 2x^{2} - 3x + c$ , definida para todo número real x.

a) Determine todos os valores de c para os quais $f(-1)f(1) = f(-1) + f(1)$ .

b) Sejam p e q números reais distintos tais que $f(p) = f(q)$ . Prove que p e q não podem ser ambos números inteiros.

Gabarito:

Resolução:

$2 epsilon mathbb{I}mathbb{R}$ , $f(x) = 2x^{2} - 3x + c$

a) $f(-1) =2(-1)^{2} -3 . (-1) + x =5 + x$

$f(1) =2(1)^{2} 3 . (1) + x = -1 + x$

Daí, $f(-1) cdot f(1) = (5 + x) cdot (-1 + x) = x^{2} + 4x - 5$ e

$f(-1) + f(1) = 5 + x + (-1 + x) = 4 + 2 x$

Como $f(-1) cdot f(1) = f(-1) + f(1)$ , então:

$x^{2} + 4x - 5 = 2x + 4$

$x^{2} + 2x -9 = 0$ ,
$Delta = (2)^2-4(1)(-9)=40$
$x = frac{-2 pm sqrt{4.10}}{2}$ $=$ $frac{-2 pm 2 . sqrt{10}}{2}$ $=$ $1 pm sqrt{10}$ .

Logo, $x = -1 + sqrt{10}$ ou $x = -1 - sqrt{10}$

b) $f_{(p)} = f_{(q)}$ , então p e q não são ambos $mathbb{Z}$

$f_{(p)} = 2p^{2} - 3_{p} + x$ e $f_{(q)} = 2q^{2} - 3_{q} + x = 0$

$2p^{2} - 3_{p} + c = 2q^{2} - 3q + c$
$2p^{2} - 3_{p} = 2q^{2} - 3q$
$2_{p^{2}} - 2q^{2} = 3_{p} - 3_{q}$
$2 cdot (p^{2} - q^{2}) = 3 (p - q)$

Fatorando $p^{2} - q^{2}$ :
$2 cdot (p + q) cdot (p - q) = 3 cdot (p - q)$

$2 (p + q) = 3$
$(p + q) = frac{3}{2}$

Como a soma de números inteiros resulta em um número inteiro concluímos que:

1. Se $p + q otin mathbb{Z}$ e $q in {Z} Rightarrow$ , então $p otin mathbb{Z}$

2. Se $p + q otin mathbb{Z}$ e $p in {Z} Rightarrow$ , então $q otin mathbb{Z}$

3. Se $p + q otin mathbb{Z}$ , então $p,q otin mathbb{Z}$

Logo, para $f_{p} = f_{q}, p$ e $q$ não podem ser ambos inteiros.

Questões relacionadas

Questão 61

(UNICAMP - 2019 - 1ª FASE) A representação decimal de certo número inteiro positivo tem dois algarismos. Se o triplo da soma desses algarismos é igual ao pr&oacut...

Ver questão

Questão 62

(UNICAMP - 2019 - 1ª FASE) O sistema de segurança de um aeroporto consiste de duas inspeções. Na primeira delas, a probabilidade de um passageiro ser inspecionado &eacut...

Ver questão

Questão 63

(UNICAMP - 2019)Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais positivos. Considere a função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏), definida para todo número real 𝑥. No plano cartesiano, qual...

Ver questão

Questão 65

(UNICAMP - 2019 - 1ª FASE)No triângulo ABC exibido na figura a seguir, AD é a bissetriz do ângulo interno em 𝐴, e . O ângulo interno em 𝐴 é igual a &nbs...

Ver questão