Questão 11

UNICAMP 2019

Matemática

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 5)

Sabendo que a e b são números reais, considere a matriz quadrada de ordem 2.

$A = egin{bmatrix} 1 & 1\ a & b end{bmatrix}$

a) Determine todos os valores de a e b para os quais $A^{r}A = AA^{r}$ , em que $A^{r}$ é a transposta da matriz $A$ .

b) Para $a = b = 2$ , sejam $k$ e $heta$ números reais tais que

$A egin{bmatrix} cos heta \ mathrm{sen} , heta end{bmatrix}$ $= k egin{bmatrix} cos heta \ mathrm{sen} , heta end{bmatrix}$ .

Determine os possíveis valores de $mathrm{tan} , heta$ .

Gabarito:

Resolução:

$A = egin{pmatrix}1 &1 \ a & b end{pmatrix}$

$A^T = egin{pmatrix} 1 &a \ 1 &b end{pmatrix}$

$A^T cdot A = A cdot A^T$

$A^T cdot A = egin{pmatrix} 1 & a\ 1 & b end{pmatrix} egin{pmatrix} 1 & 1 \ a & b end{pmatrix}$

$A^T cdot A = egin{pmatrix} 1+a^2 & 1+ab \ 1+ab & 1+b^2 end{pmatrix}$

$A cdot A^T = egin{pmatrix} 1 & 1 \ a & b end{pmatrix} egin{pmatrix}1 &a \ 1 & b end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 & a+b \ a+b & a^2+b^2 end{pmatrix}$

$A^T cdot A = A cdot A^T$

$egin{pmatrix} 1+a^2 & 1+ab \ 1+ab & 1+b^2 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 & a+b \ a+b & a^2+b^2 end{pmatrix}$

$left{egin{matrix} 1+a^2=2 ightarrow a^2=1 ightarrow a = pm 1 (I) \ 1+ab = a+b ightarrow ab-b = a-1 ightarrow b(a-1)=a-1 (II) \ 1+b^2=a^2+b^2 ightarrow a^2=1 ightarrow remete-nos a (I) end{matrix} ight.$

De (II):

$b cdot (a-1) = (a-1)$

Se a-1=0 -> a=1, então b pode assumir qualquer valor, ou seja, b é indeterminado

Se $a-1 eq 0 ightarrow a eq -1$ , então b=1

Logo, o conjunto solução da equação $A^T cdot A = A cdot A^T$ é

$\ igstar Se a=1, b pode assumir qualquer valor epsilon mathbb {R} \ igstar Se a=-1, b=1 \ igstar Se a eq 1 e a eq -1, b=1$

$a = b = 2, k e heta epsilon mathbb{R}$ :

$A = cdot egin{pmatrix} cos heta \ sen heta end{pmatrix} = k cdot egin{pmatrix} cos heta \ sen heta end{pmatrix}$

$tg heta =?$

Como a = b =2, então $A = egin{pmatrix}1 &1 \2 &2 end{pmatrix}$ . Daí, $A cdot egin{pmatrix} cos heta \ sen heta end{pmatrix} = egin{pmatrix} cos heta +sen heta \ 2(cos heta +sen heta ) end{pmatrix}$

$A cdot egin{pmatrix} cos heta \ sen heta end{pmatrix} = (cos heta +sen heta ) cdot egin{pmatrix} 1 \ 2 end{pmatrix} = k cdot egin{pmatrix} cos heta \ sen heta end{pmatrix}$

Logo,

$left{egin{matrix} cos heta +sen heta = k cdot cos heta (I) \ 2 cdot cos heta +2 cdot sen heta = k cdot sen heta (II)end{matrix} ight.$

$De (II): 2 cdot (cos heta +sen heta ) = k cdot sen heta e de (I): cos heta + sen heta = k cdot cos heta ightarrow 2 cdot k cos heta = k cdot sen heta$