Questão 12

UNICAMP 2019

Matemática

(UNICAMP - 2019 - 2 fase - Questão 6)

Seja um cilindro circular reto com raio da base de comprimento $r = 2$ cm e altura de comprimento $h$ . Seja $d$ a maior distância entre dois pontos desse cilindro, como ilustra a figura abaixo.

a) Supondo que o cilindro tenha volume igual a um litro, calcule sua área de superfície total.

b) Determine o valor de d no caso em que (r, h, d) seja uma progressão geométrica.

Gabarito:

Resolução:

a) A área total do cilindro é dada por:

$A = 2 pi r^2 + 2 pi r h$ (Tampas circulares + área lateral)

Além disso, o volume V = 1000 cm³ é dado por

$V = pi r^2h ightarrow 1000 = pi 2^2 h ightarrow h = frac{250}{pi}$

Logo,

$A = 2 pi cdot 2^2 + 2 pi cdot 2 cdot frac{250}{pi}$

$A = (8 pi + 1000) cm^2$

b) Temos que (r, h, d) estão PG, logo podemos escrever como: (r, rq, rq²).

Como r = 2 cm, temos (2, 2q, 2q²)

Utilizando o triângulo:

(Um erro na imagem, não é z, mas dois)

Temos: d² = h²+4r², substituindo a PG, temos:

$(2q^2)^2 = (2q)^2+4 cdot (2)^2$

$4q^4=4q^2+16$

$q^4-q^2-4=0$ , assim:

$q^2 = frac{sqrt{17}+1}{2}$ e sabendo que $d = 2q^2$ , tem-se $d = sqrt{17}+1$

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