Questão 64

UNICAMP 2019

Matemática

(UNICAMP - 2019 - 1ª FASE)

Sejam $k$ e $heta$ números reais tais que $sen heta$ e $cos heta$ são soluções da equação quadrática $2x^{2}+x+k=0$ . Então, $k$ é um número

irracional.

racional não inteiro.

inteiro positivo.

inteiro negativo.

Gabarito:

racional não inteiro.

Resolução:

A soma das raízes de uma equação de segundo grau é $x_{1}+x_{2}=frac{-b}{a}$

aplicado a equação dada, $x_{1}+x_{2}=frac{-1}{2}$

A multiplicação das raízes de segunda grau é $x_{1} cdot x_{2}=frac{c}{a}$

logo, aplicada a equação, $x_{1} cdot x_{2}=sen heta cdot cos heta=frac{k}{2}$

sabendo que $sen heta$ e $cos heta$ são soluções e utilizando as informações acima obtemos:

$sen heta +cos heta= frac{-1}{2}$

elevando ambos os lados ao quadrado:

$(sen heta +cos heta)^{2}= (frac{-1}{2})^{2}$

desenvolvendo:

$sen^{2} heta+2sen heta cos heta+cos^{2} heta=frac{1}{4}$

lembrando da relação trigonométrica fundamental, $sen^{2} heta+cos^{2} heta=1$ e sbstituindo na equação acima:

$2sen heta cos heta+1=frac{1}{4}$

sabemos que $sen heta cdot cos heta=frac{k}{2}$ , então:

$1+2frac{k}{2}=frac{1}{4}$

resolvendo:

$k=frac{-3}{4}$

Portando k é um número racional não inteiro.

Questões relacionadas

Questão 61

(UNICAMP - 2019 - 1ª FASE) A representação decimal de certo número inteiro positivo tem dois algarismos. Se o triplo da soma desses algarismos é igual ao pr&oacut...

Ver questão

Questão 62

(UNICAMP - 2019 - 1ª FASE) O sistema de segurança de um aeroporto consiste de duas inspeções. Na primeira delas, a probabilidade de um passageiro ser inspecionado &eacut...

Ver questão

Questão 63

(UNICAMP - 2019)Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais positivos. Considere a função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏), definida para todo número real 𝑥. No plano cartesiano, qual...

Ver questão

Questão 65

(UNICAMP - 2019 - 1ª FASE)No triângulo ABC exibido na figura a seguir, AD é a bissetriz do ângulo interno em 𝐴, e . O ângulo interno em 𝐴 é igual a &nbs...

Ver questão