Questão 7
UNICAMP 2020
(UNICAMP - 2020 - 2 fase)
Seja a matriz de ordem 2 x 3, dada por
a) Seja 𝐶 a matriz de ordem 3 x 2, cujos elementos são dados por , para i = 1, 2, 3 e j = 1, 2. Determine o produto 𝐴𝐶.
b) Determine a solução do sistema linear nas variáveis reais 𝑥, 𝑦 e 𝑧, em que (x, y, z) é uma progressão aritmética.
Gabarito:
Resolução:
a) Seja 𝐶 a matriz de ordem 3 x 2, cujos elementos são dados por , para i = 1, 2, 3 e j = 1, 2. Determine o produto 𝐴𝐶.
1) Primeiramente devemos encontrar a nossa matriz .
2) Como dito no enunciado , logo:
3) Desenvolvendo:
4) Com isso, podemos calcular o produto AC:
5)
6) Simplificando:
b) Determine a solução do sistema linear nas variáveis reais 𝑥, 𝑦 e 𝑧, em que (x, y, z) é uma progressão aritmética.
1) Substituindo a matriz A em :
2)
3) Logo, temos o sistema:
Como x,y e z são PA, então temos pela propriedade da média aritmética:
Aplicando a relação acima na primeira equação do sistema, temos:
Aplicando esse resultado no sistema, temos:
Subtraindo uma equação da outra:
z=-1
Por ultimo,