Questão 46

UNICAMP 2021

Matemática

(UNICAMP - 2021 - 1ª FASE - 2º dia de aplicação) Considere que as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica. Sendo 𝑎 a medida do menor lado e 𝐴 a área desse triângulo, é correto afirmar que:

$A=a^2cdot frac{sqrt{2sqrt{5}+2}}{4}$

$A=a^2cdot frac{sqrt{2sqrt{5}-2}}{4}$

$A=a^2cdot frac{sqrt{2sqrt{5}+2}}{2}$

$A=a^2cdot frac{sqrt{2sqrt{5}-2}}{2}$

Gabarito:

$A=a^2cdot frac{sqrt{2sqrt{5}+2}}{4}$

Resolução:

$A=frac{1}{2}cdot acdot aq$

$A=frac{1}{2}cdot a^2cdot q$

Deixe essa informação separada,

vamos fazer pitágoras no triângulo dado:

$a^2cdot q^4=a^2cdot q^2+a^2$

Dividindo tudo pelo termo comum, vem:

$q^4-q^2-1=0$

Fazendo $m=q^2$

$m^2-m-1=0$

O único resultado possível é:

$m=frac{1+sqrt{5}}{2}$

Portanto vem:

$q=sqrt{frac{1+sqrt{5}}{2}}$

$q=frac{sqrt{2+2sqrt{5}}}{2}$

Daí vem:

$A=frac{1}{2}cdot a^2cdot frac{sqrt{2+2sqrt{5}}}{2}$

$A=a^2cdot frac{sqrt{2sqrt{5}+2}}{4}$

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