Questão 10

UNICAMP 2021

Matemática

(UNICAMP - 2021 - 2ª FASE)

Seja f(x) = x³ - 2x + 1 uma função polinomial real. A reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto (a, f(a)) é definida pela equação y = mx + f(a) - ma, onde m = 3a² - 2.

a) Encontre os pontos do gráfico de y = f(x) cuja reta tangente é paralela à reta definida por x - y = 0.

b) Sabendo que a > 0 e que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto (a, f(a)) é 10, determine os pontos de interseção da reta tangente com o gráfico de y = f(x).

Gabarito:

Resolução:

Letra A)Utilizando a equação para reta tangente dada pelo enunciado y = mx + f(a) - ma, onde m = 3a² - 2, temos:

$y-f(a)=m(x-a)$

para uma reta tangente paralela a x-y= temos como coefiente ângular m=1, logo:

$1=3a^2-2$
$a=pm1$

$f(1) = 1^3 - 2(1) + 1 =0$
$f(-1) = (-1)^3 - 2(-1) + 1 =2$

pontos (1;0) e (-1;2)

Letra B)

Foi dito que o coeficiente angular (m) é igual a dez.

Portanto vem:

$m=3a^2-2=10$

$3a^2-2=10$

$a^2=4$

$a_{1}=2$ , pois $a>0$

ATENÇÃO: Aqui queremos achar os pontos nos quais a reta tangente se intercepta com a função f(x), logo não basta que achemos o pontos f(a), o ponto f(a) tangencia f(x) sim, mas queremos todos os pontos da intersecção entre f(x) e a reta tangente, portanto fazemos:

Substituindo o valor de $a$ na equação da reta tangente dada, vem:

y = mx + f(a) - ma

$y=10x-15$

Para encontrarmos a intersecção com a função do terceiro grau dada, basta fazer:

$10x-15=x^3-2x+1$

$x^3-12x+16=0$

Fazendo Briot-Ruffini, vem:

$x_{1}=2$

$x_{2}=2$

$x_{3}=-4$

Como $x_1=x_2$ temos apenas 2 pontos de intersecção.

$y=10(2)-15=5$
$y=10(-4)-15=-55$

(2;5) e (-4;-55)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx RESOLUÇÃO 2 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

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