Questão 8

UNICAMP 2021

Matemática

(UNICAMP - 2021 - 2ª FASE)

Sejam 𝑎, 𝑏 números reais positivos. Considere a sequência de polígonos 𝑃1 , 𝑃2 , ⋯ , 𝑃𝑛, ⋯ construídos da seguinte forma:

• 𝑃1 é um retângulo de lados 𝑎 e 𝑏, como mostra a figura 1;

• 𝑃2 é obtido de 𝑃1 , retirando dele um retângulo de lados medindo 𝑎/2 e 𝑏/2, como mostra a figura 2;  𝑃3 é obtido de 𝑃1 , retirando dele 3 retângulos de lados medindo 𝑎/3 e 𝑏/3, como mostra a figura 3;

• 𝑃4 é obtido de 𝑃1 , retirando dele 6 retângulos de lados medindo 𝑎/4 e 𝑏/4, como mostra a figura 4;

• E assim, sucessivamente, 𝑃𝑛 é obtido de 𝑃1 , como mostra a figura 5.

a) Determine o perímetro e o número de lados de 𝑃₂₀₂₁.

b) Seja 𝐴𝑛 a área do polígono 𝑃𝑛, e seja 𝐴 a área do triângulo retângulo de catetos com medidas 𝑎 e 𝑏. Encontre a razão $R_n=frac{A_n}{A}$ , para 𝑛 arbitrário.

Gabarito:

Resolução:

Letra A)

É possível visualizar, na letra A, que o perímetro de todas as formações será constante, igual a:

${color{Red} P=2(a+b)}$

E para encontrarmos o número de lados, é só analisarmos a seguinte formação:

$a_{1}=4$

$a_{2}=6$

$a_{3}=8$

.

.

.

$a_{2021}=4+2020cdot 2$

${color{Red} a_{2021}=4044}$

Letra B)

Para encontrarmos a área do polígono de n lados, vamos começar encontrando o número de blocos sobre o qual ele é formado:

$a_{1}=1$

$a_{2}=a_{1}+2$

$a_{3}=a_{2}+3$

.

.

.

$a_{n}=a_{n-1}+n$

Fazendo essa soma, encontramos:

$a_{n}=1+2+3+...+n$

$a_{n}=left (1+n ight )cdot frac{n}{2}$

Logo para encontrarmos a área, basta multiplicarmos esse valor pela área de de cada retângulo de lado de lado $a/n$ e $a/n$ , ficando:

$S=left (1+n ight )cdot frac{n}{2}cdot frac{a}{n}cdot frac{b}{n}$

$S=left (1+n ight )cdot frac{acdot b}{2n}$

E sabemos que a área do triângulo retângulo de lados a e b é $s=frac{1}{2}cdot ab$

E a razão pedida é dada por:

$R_n=frac{A_n}{A}$

$R_n=frac{left (1+n ight )cdot frac{acdot b}{2n}}{frac{1}{2}cdot ab}_{_{_{_{}}}}$

${color{Red} R_n=frac{1+n}{n}}$

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