Questão 67018

UNICAMP 2021

Matemática

(UNICAMP - 2021 - ADAPTADA)

Se $hetainleft(0,frac{pi}{2} ight )$ , a expressão

$frac{frac{cosleft( heta ight )+senleft( heta ight )}{senleft( heta ight )}+frac{cosleft( heta ight )-senleft( heta ight )}{cosleft( heta ight )}}{frac{cosleft( heta ight )+senleft( heta ight )}{cosleft( heta ight )}+frac{cosleft( heta ight )-senleft( heta ight )}{senleft( heta ight )}}$

é equivalente a

$cos^2left( heta ight )-sen^2left( heta ight )$

$cosleft(2 heta ight )+senleft(2 heta ight )$

Gabarito:

$cosleft(2 heta ight )+senleft(2 heta ight )$

Resolução:

Vamos simplificar as frações:

Numerador:

$frac{cosleft( heta ight )+senleft( heta ight )}{senleft( heta ight )}=frac{cosleft( heta ight )}{senleft( heta ight )}+1$

$frac{cosleft( heta ight )-senleft( heta ight )}{cosleft( heta ight )}=1-frac{senleft( heta ight )}{cosleft( heta ight )}$

Denominador:

$frac{cosleft( heta ight )+senleft( heta ight )}{cosleft( heta ight )}=1+frac{senleft( heta ight )}{cosleft( heta ight )}$

$frac{cosleft( heta ight )-senleft( heta ight )}{senleft( heta ight )}=frac{cosleft( heta ight )}{senleft( heta ight )}-1$

Juntando as expressões acima:

$frac{2+frac{cosleft( heta ight )}{senleft( heta ight )}-frac{senleft( heta ight )}{cosleft( heta ight )}}{frac{cosleft( heta ight )}{senleft( heta ight )}+frac{senleft( heta ight )}{cosleft( heta ight )}}=frac{frac{cos^2left( heta ight )-sen^2left( heta ight )+2sen heta cos heta}{cos hetacdot sen heta}}{frac{cos^2left( heta ight )+sen^2left( heta ight )}{cos hetacdot sen heta}}=frac{cos^2left( heta ight )-sen^2left( heta ight )+2sen heta cos heta}{cos^2left( heta ight )+sen^2left( heta ight )}$

$frac{cos^2left( heta ight )-sen^2left( heta ight )+2sen heta cos heta}{cos^2left( heta ight )+sen^2left( heta ight )}=frac{cos2 heta+sen2 heta}{1}=cos2 heta+sen2 heta$

A Letra B é a correta.

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