Questão 54

UNICAMP 2022

Matemática

(UNICAMP - 2022 - 1ª fase - Caderno R) A parábola y = −x2 + bx + c intercepta o eixo x nos pontos (p, 0) e (q, 0). Sabe-se que ela intercepta uma única vez cada uma das retas dadas pelas equações y = 2x + 1 e y = 1 − $frac{x}{2}$ . O valor de p + q é:

2/3.

3/4.

4/3.

3/2.

Gabarito:

3/4.

Resolução:

Seja a parábola dada por $y = -x^{2} + bx + c$ . Como ela intercepta o eixo X nos pontos (p,0) e (q,0), temos que p e q são as raízes desta parábola.

Das relações de Girard, a soma das raízes é $frac{-b}{a}$ . Logo:

$p + q = frac{-b}{a}$

$p + q = frac{-b}{-1}$

$p + q = b$

Queremos achar o valor de b, sabendo que a parábola intercepta as retas r e s em apenas 1 ponto,

quando substituirmos a equação de cada uma delas, o delta deverá ser zero. Então:

I). Reta r :

$2x + 1 = -x^{2} + bx + c$

$-x^{2} + (b - 2)x + c -1 = 0$

$Delta = (b-2)^{2} -4(-1)(c-1) = 0$

Pois existe apenas uma interseção.

II). Reta s:

$1 - frac{x}{2} = -x^{2} +bx + c$

$-x^{2} +(b + frac{1}{2})x + c - 1 = 0$

$Delta = (b+ frac{1}{2})^{2} -4(-1)(c-1) = 0$

Pois também existe apenas uma interseção.

Substituindo I em II:

$(b+frac{1}{2})^{2} = (b-2)^{2}$

Resolvendo a equação: $b = frac{3}{4}$

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