Questão 6
UNICAMP 2022
(UNICAMP - 2022 - 2ª fase)
Márcia está fazendo um teste de condicionamento físico e corre numa pista circular de 200 m de comprimento, com velocidade angular constante, e no sentido anti-horário. A distância, em metros, entre Márcia e um equipamento eletrônico localizado na parte externa da pista foi registrada nos primeiros 60 segundos e está representada na Figura 1 abaixo.
a) Determine quanto tempo Márcia demora para completar uma volta e quantos metros ela percorreu nos primeiros 60 segundos.
b) A Figura 2 representa um determinado instante em que a distância entre Márcia e o centro da pista (ponto C) é igual à distância entre ela e o equipamento eletrônico. Calcule o cosseno do ângulo 𝛼 indicado na Figura 2.
Gabarito:
Resolução:
a) Analisando o gráfico, e o posicionamento do equipamento eletrônico em relação ao círculo, é possível concluir que Márcia completa uma volta em 24 segundos. Para fazer esta observação, é interessante observar a distância entre os dois valores onde a distância é maior ou dois valores onde a distância é menor, pois estes são os únicos valores que não se repetem em uma volta.
Assim, podemos descobrir o número de voltas que Márcia completa em 60 segundos:
Márcia completa 2,5 voltas em 60 segundos.
Como é dado que a pista possui 200 m de comprimento, a distância percorrida por ela é:
b) Primeiramente, podemos encontrar a medida do raio da circunferência.
Assim, a distância de Márcia ao centro da circunferência, que neste ponto é igual à sua distância ao equipamento eletrônico é
É importante também notar que podemos encontrar no gráfico a menor distância de Márcia ao equipamento eletrônico, esta distância é de 10m. Desta forma, podemos construir o seguinte triângulo isósceles:
Note que a medida da base é encontrada utilizando a menor distância ao equipamento eletrônico.
Assim, podemos traçar sua altura, que é também mediana pois o triângulo é isósceles, e encontrar o cosseno de alpha
Substituindo r: