Questão 7

UNICAMP 2022

Matemática

(UNICAMP - 2022 - 2ª fase)

Heloísa está brincando com uma urna que contém dez bolinhas, sendo três azuis, três verdes e quatro rosas. Ela resolve construir uma sequência numérica $x_0, x_1, x_2$ , … de acordo com as cores das bolinhas que sorteia da urna. O primeiro termo da sequência é $x_0 = 1$ .

A cada sorteio, um novo termo da sequência é determinado multiplicando-se o termo anterior:

por 2, se a bolinha sorteada for azul;
por 3, se a bolinha sorteada for verde;
por 5, se a bolinha sorteada for rosa.

A bolinha sorteada é devolvida para a urna antes do próximo sorteio. Por exemplo, se nos três primeiros sorteios Heloísa retira, respectivamente, uma bolinha rosa, uma verde e uma azul, então a sequência obtida é

$x_0 = 1$
$x_1= 5 cdot x_0 = 5,$
$x_2= 3 cdot x_1= 15,$
$x_3= 2 cdot x_2= 30,$

a) É possível que Heloísa obtenha uma sequência contendo o termo 189? Justifique.

b) Qual a probabilidade de Heloísa obter o número 360 como termo de uma sequência?

Gabarito:

Resolução:

A) Vamos fatorar o número 189:

Sabemos então que o número 189 é $3^3cdot 7$ .

Todos os números participantes da sequência são formados pelos primos 2, 3 e 5. Dessa forma, todos os números da sequência podem ser escritos da forma: $x_n = 2^{alpha} cdot 3^{eta} cdot 5^{ heta}$ , sendo $alpha$ , $eta$ e $heta$ maiores ou iguais a 0.

Logo, como 189 também tem um fator 7 em sua fatoração, não é possível que esse número apareça na sequência.

B) Vamos fatorar o número 360:

Sabemos então que o número 360 é $2^3 cdot 3^2cdot 5^1$ .

Portanto, para que apareça esse número, nos 6 primeiros sorteios de Heloísa deve aparecer a cor azul três vezes, a cor verde 2 vezes e a cor rosa 1 vez, não importando a ordem das aparições.

Considerando o fato de que as bolinhas retiradas são sempre repostas:

$P=(frac{3}{10})^3 cdot (frac{3}{10})^2 cdot (frac{4}{10})^1 cdot frac{6!}{3! cdot 2!}$

$P=frac{3^3 cdot 3^2 cdot 4 cdot 6 cdot 5 cdot 4}{10^6cdot 2}$

$P=frac{3^6}{5^5 cdot 2^2}$

$P=frac{729}{12500}$

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