Questão 9

UNICAMP 2022

Matemática

(UNICAMP - 2022 - 2ª fase)

Seja 𝑎 um número real e considere o polinômio $f(x) = x^3 + (a+1) x^2 + (a+2) x + 2$ , que tem $x = -1$ como uma de suas raízes.

a) Determine todos os valores de 𝑎 tais que $x = -1$ é a única raiz real.

b) Determine todos os valores de 𝑎 tais que as soluções de $f(x) = 0$ sejam números inteiros.

Gabarito:

Resolução:

a). Seja o polinômio dado. Sabemos que se x = -1 é raiz, então o polinômio é divisível pelo polinômio $p(x) =x + 1$

Logo:

$frac{f(x)}{p(x)} = q(x)$

$frac{f(x)}{p(x)} = x^{2} +ax + 2$

Para que x = -1 seja a única raíz real, então o polinômo q(x) não deverá ter raízes reais, logo o delta é MENOR que zero.

$Delta = a^{2} -4(1).(2)$

$a^{2} -4(1).(2) < 0$

$a^{2} < 8$

$-2sqrt(2)< a < 2sqrt(2)$

b). Já para f(x) = 0

$Delta > 0$

Logo:

$a^{2} > 8$

$a > 2sqrt(2)$ ou $a < - 2sqrt(2)$

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