Questão 4

UNICAMP 2024

Matemática

(UNICAMP - 2024)

Considere a função

$f(x)= frac{ax-1}{2x+3}$

a) Para $a=0$ , calcule $f^{-1} (3/5)$ .

b) Determine o(s) valor(es) de a para que $f(f(1) ) = 1$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Para $a=0$ , calcule $f^{-1} (3/5)$ .

Primeiramente, temos que lembrar que:

$f(a) = b Leftrightarrow f^{-1} (b) = a$

Temos que :

$f(x) = frac{a.x-1}{2x+3} = frac{0.x - 1}{2x+3} = frac{-1}{2x+3}$

Como $f^{-1} (3/5) = b$

$f(b) = frac{3}{5}$

Então:

$frac{-1}{2.b+3} = frac{3}{5} \ \ -5 = 6b + 9 \ \ -14 = 6b \ \ b = - frac{14}{6} = - frac{7}{3}$

Portanto, temos que:

$f^{-1} (frac{3}{5}) = - frac{7}{3}$

b) Determine o(s) valor(es) de a para que $f(f(1) ) = 1$ .

$f(1) = frac{1a - 1}{2.1+3} = frac{a-1}{3}$

Portanto, temos que:

$f(f(1)) = frac{frac{a(a-1)}{5}-1}{frac{2(a-1)}{5}+3}$

$f(f(1)) = frac{frac{a^{2}-a-5}{5}}{frac{{2a-2+15}}{5}}$

Portanto, temos que:

$\ frac{a^{2}-a-5}{2a+13} = 1 \ \ a^{2} -a -5= 2a+13 \ \ a^{2} -3a -18=0$

Logo, os valores de a, são:

$\ a = 6 \ \ a = -3$

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