Questão 6

UNICAMP 2024

Matemática

(UNICAMP - 2024)

Na figura abaixo, ABCD representa um terreno quadrado cujos lados medem 10m, coberto por grama alta. O ponto E é o ponto médio do lado AD; o segmento EF, paralelo ao lado DC, representa um muro de 5m de comprimento e bem alto, sendo, portanto, intransponível.

Um cortador de grama robótico será usado para cortar a grama do terreno. Ele será ligado na energia no ponto A e seu cabo de energia tem comprimento de 10m. Para funcionar, ele tem que estar ligado todo o tempo na tomada.

a) Ao usar o aparelho para cortar a grama do terreno, uma pessoa tenta se aproximar, ao máximo, do lado CD. Nessa situação, calcule a distância que falta para o cortador de grama alcançar o lado CD. Justifique.

b) O robô não conseguirá cortar a grama do terreno todo, já que seu fio é curto e o muro é um obstáculo. Qual a maior área do terreno que o robô conseguirá cortar a grama?

Gabarito:

Resolução:

a) Diagonal:

$\ AF^{2} = 5^{2} + 5^{2} \ \ AF = 5sqrt{2}$

Temos que:

$FP = 10 - 5sqrt{2}$

Portanto:

$5 - (10-5sqrt{2}) = 5sqrt{2} - 5 cm$

Temos:

Área 1 = Amarela

Área 2 = Rosa

Área 3 = Verde

Então:

$A_{1} = frac{45}{360} . pi . 10^{2} = frac{50 pi}{4}m^{2}$

$A_{2} = frac{5.5}{2} = frac{25}{2} = frac{50}{4} m^{2}$

$A_{3} = frac{135}{360} pi (10-5sqrt{2}) = frac{3}{8} pi (100 -100sqrt{2} + 50) = frac{225pi}{4} - frac{150 pi sqrt{2}}{4} m^{2}$

Portanto, temos:

$A_{1} + A_{2} + A_{3} = frac{50 pi}{4} + frac{50}{4} + frac{225 pi}{4} - frac{150 pi sqrt{2}}{4} = frac{25}{4} (11pi + 2 - 6pisqrt{2})m^{2}$

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