Questão 7

UNICAMP 2024

Matemática

(UNICAMP - 2024)

Considere os conjuntos

$A= left { (x,y) epsilon mathbb{R} | 2 leq y leq frac{x}{2}+1 ight }, B= left { (x,y) epsilon mathbb{R}^{2} | y leq -frac{x}{4} + frac{13}{4} ight }$

a) O ponto $left ( frac{3}{2},1 ight )$ está em $A cap B$ ? E o ponto $left ( 3,frac{12}{5} ight )$ ? Justifique.

b) Calcule a área de $A cap B$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Veja que (3/2 ; 1) não é ponto do conjunto A, pois a ordenada é menor do que 2, portanto, não faz parte de A interseção com B ( $Acap B$ )

I) O ponto (3; 12/5) para inequação:

$y leq frac{x}{2} + 1:$

$\ frac{12}{5 } leq frac{3}{2} + 1 \ \ frac{12}{5} leq frac{5}{2} \ \ 24 leq 25$

Veja que este ponto está em A.

II) Para inequação: $y leq - frac{x}{4} + frac{13}{4}$

$\ frac{12}{5 } leq frac{3}{4} + frac{13}{4} \ \ 48 leq -15 + 65 \ \ 48 leq 50$

Logo, o ponto está em B, com isso está em $A cap B$

Temos ponto A , para y = 2

2 = x/2 + 1

x = 2

No ponto C, temos:

y = 2

2 = -x/4 + 13/4

2x + 4 = -x +13

3x = 9

x = 3

Então:

y = 3/2 + 1 = 5/2

Portanto, podemos calcular a área $A cap B$

$A = frac{(5-2)(frac{5}{2}-2)}{2} = frac{3}{4}$

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