Questão 8

UNICAMP 2024

Matemática

(UNICAMP - 2024)

Considere o número racional c definido por

$c= frac{2a+b^{2}-1}{4a+3b},$

com a, b números inteiros positivos.

a) Se b é um número par, é possível que c seja inteiro? Justifique.

b) Determine todos os números inteiros positivos b, tais que $c leq frac{1}{2}$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Temos que b é par , então b = 2k

Sendo que k pertence aos interiros diferente de zero, portanto:

$c = frac{2a + (2k)^{2} -1}{4a + 3.2K } = frac{2a + 4k^{2} -1 }{4a + 6k } = frac{2(a+2k)-1}{2(2a+3k)}$

Portanto, o númerador é um é um número impar e o denominador é par, logo, c não pode ser um número inteiro.

b) Temos que :

$c leq frac{1}{2}$

$frac{2a + b^{2} -1}{4a + 3b } leq frac{1}{2}$

$4a + 2b^{2} -2 leq 4a + 3b \ \ 2b^{2} - 3b -2 leq 0$

Então temos uma parábola com concavidade para cima e temos raízes:]

$Delta = (-3)^{2} -4.2(-2) =25$

$b = frac{3 pm 5}{4} = 2 ou -1/2$

Analisando os sinais, temos:

Como b > 0

b = 1 ou b = 2

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