Questão 6578

UNIFESP 2004

Matemática

(Unifesp 2004) Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas.

Nestas condições, calcule a área da região sombreada, apresentada em destaque à direita e o o perímetro da figura que delimita a região sombreada.

u.a. e 2π u.c.

u.a. e 4π u.c.

u.a. e 2π u.c.

u.a. e 4π u.c.

u.a. e 8π u.c.

Gabarito: u.a. e 4π u.c.

Resolução:

1) Perceba que centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, logo, temos que o raio de cada uma dessas circunferências é 1.

2) A área que estamos procurando será a área do hexágono subtraida de 6 setores circulares.

3) Cada setor circular possui a seguinte área:

$A=pi cdot r^2 cdot frac{120^circ}{360^circ} = frac{pi cdot r^2}{3}$

4) Como são 6 setores circulares, a área deles será:

$A_6= frac{pi cdot r^2}{3} cdot 6 = 2pi r^2=2pi$

5) A área do hexágono regulares de lado 2 será:

$A_h=frac{3l^2sqrt{3}}{2}=frac{3 cdot 2^2sqrt{3}}{2} = 6sqrt{3}$

6) Com isso, a área procurada será $6sqrt{3}-2pi$

7) O perímetro será o comprimento do lado dos 6 setores circulares.

8) Temos que um setor circular possui o lado igual a

$L=2 pi cdot r cdot frac{120^circ}{360^circ} = frac{2pi}{3}$

9) Logo, o perimétro será $P = 6 cdot frac{2pi}{3} = 4pi$

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