Questão 7908
UNIFESP 2004
(Unifesp 2004) Na figura, estão representados, no plano cartesiano xOy, a reta de equação y = 2kx, 0 ≤ k ≤ , a parábola de equação y = - x2 + 3x e os pontos O, P e Q de intersecções da parábola com o eixo Ox e da reta com a parábola.
Nestas condições, o valor de k para que a área do triângulo OPQ seja a maior possível é:
Gabarito:
Resolução:
1) Encontrando os pontos do triângulo O e P que são as raízes da parabóla: y = - x2 + 3x:
- x2 + 3x = 0
x(-x+3)=0
Logo, x=0 ou x=3.
Com isso, temos que O=(0,0) e P=(3,0)
2) Encontrando o ponto Q do triângulo que é a intercessão da reta y = 2kx e a parábola y = - x2 + 3x.
2kx = -x² + 3x
-x² + 3x - 2kx = 0
-x² + x(3 - 2k) = 0
x(-x + (3-2k))=0
Logo, x=0 ou x=3-2k
Com isso,
Q=(3-2k, 2k(3-2k))
Q = (3-2k, 6k-4k²)
3) Temos então, os 3 pontos do triângulo:
O=(0,0), P=(3,0) e Q=(3-2k, 6k-4k²).
4) Encontrando a área via determinante:
5) Aplicando Laplace:
6) Logo,
O valor máximo da área ocorre quando temos o xv:
7) Como esse valor está dentro do intervalo 0 ≤ k ≤ , essa é a solução.