Questão 6929

UPF 2015

Matemática

(UPF - 2015) A quantidade de soluções que a equação trigonométrica

admite no intervalo [0,3 π] é:

Gabarito:

Resolução:

$sen^4(x)-cos^4(x)=frac{1}{2}$

1) Fatorando:

$(sen^2(x)+cos^2(x))(sen^2(x)-cos^2(x))=frac{1}{2}$

2) Como $sen^2(x)+cos^2(x)=1$ :

$sen^2(x)-cos^2(x)=frac{1}{2}$

3) $mathrm{Usando:a:seguinte:identidade;trigonométrica}:quad cos ^2left(x ight)-sin ^2left(x ight)=cos left(2x ight)$

$-cos left(2x ight)=frac{1}{2}$

$cos left(2x ight)=-frac{1}{2}$

4) Logo, $2x=frac{2pi }{3}+2pi n:ou;2x=frac{4pi }{3}+2pi n$

5) Com isso,

$x=frac{pi }{3}+pi n,:x=frac{2pi }{3}+pi n$

6) Para o intervalo [0,3π], as soluções são:

$\ x=frac{pi }{3},:x=frac{2pi }{3}, x=frac{4pi }{3},x=frac{5pi }{3}, x=frac{7pi }{3}, x=frac{8pi }{3}$

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