Questão 6809

USP 1970

Matemática

(CESCEM - 1970) São dadas duas matrizes A e B, quadradas de ordem p. A matriz I_p e a matriz O_p são, respectivamente a matriz identidade e a matriz nula, quadradas, de ordem p. Nestas condições:

AB = BA

se AB = O_p então BA = O_p

se AB = I_p então BA = I_p

AB = BA se e só se AB = I_p

nenhuma das respostas anteriores

Gabarito:

se AB = I_p então BA = I_p

Resolução:

$\\ a);;AB=BA;; ext{, item falso, pois a multiplicação de matrizes não é comutativa. Veja o exemplo: } \\ p=2\\ A=egin{bmatrix} 1 & 1\ 0 & 0 end{bmatrix}\\ B=egin{bmatrix} 1 & 0\ 1 & 0 end{bmatrix}\\ AB=egin{bmatrix} 2 & 0\ 0 & 0 end{bmatrix} ext{ e } BA=egin{bmatrix} 1 & 1\ 1 & 1 end{bmatrix};;Rightarrow;;AB eq BA$

$\\ b);; ext{ item falso, pois a multiplicação de matrizes não é comutativa. Veja o exemplo: } \\ p=2\\ A=egin{bmatrix} 0 & 0\ 0 & 1 end{bmatrix}\\ B=egin{bmatrix} 0 & 1\ 0 & 0 end{bmatrix}\\ AB=egin{bmatrix} 0 & 0\ 0 & 0 end{bmatrix}=O_2 ext{ e } BA=egin{bmatrix} 0 & 1\ 0 & 0 end{bmatrix};;Rightarrow;;AB eq BA$

$\\ c);; ext{ item verdadeiro, pois se } AB=I_p ext{, então B é a inversa de A. Logo, A é inversa de B. Portanto: } AB=BA.$

$\\ d);; ext{item falso, pois veja o contra-exemplo: } \\ A=B=O_p;;Rightarrow;;AB=O_p^2=O_p=BA$

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