FUVEST 2005

Questão 49061

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 5)

Dois navios partiram ao mesmo tempo, de um mesmo porto, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Trinta minutos após a partida, a distância entre os dois navios era de 15 km e, após mais 15 minutos, um dos navios estava 4,5 km mais longe do porto que o outro.

a) Quais as velocidades dos dois navios, em km/h?

b) Qual a distância de cada um dos navios até o porto de saída, 270 minutos após a partida?

Questão 49062

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 6)

Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura.

a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N.

b) Calcule o comprimento do segmento NB.

Questão 49063

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 7)

Um capital de R$ 12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre:

a) O capital acumulado após 2 anos.

b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial.

[Se necessário, use e ]

Questão 49064

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 8)

A função , com , é chamada função quadrática.

a) Encontre a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A(0,2) , B(–1,1) e C(1,1).

b) Dados os pontos ( , mostre que, se e se os pontos A, B e C não pertencem a uma mesma reta, então existe uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B e C.

Questão 49065

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 9)

Com as letras x, y, z e w podemos formar monômios de grau k, isto é, expressões do tipo , onde p, q, r e s são inteiros não-negativos, tais que p + q + r + s = k. Quando um ou mais desses expoentes é igual a zero, dizemos que o monômio é formado pelas demais letras. Por exemplo, é um monômio de grau 7 formado pelas letras y e z [nesse caso, p = s = 0].

a) Quantos monômios de grau 4 podem ser formados com, no máximo, 4 letras?

b) Escolhendo-se ao acaso um desses monômios do item (a), qual a probabilidade dele ser formado por exatamente duas das 4 letras?

Questão 49067

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 10)

Um número complexo z = x + iy , z 0 , pode ser escrito na forma trigonométrica: , onde   e  . Essa forma de representar os números complexos não-nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números complexos, em virtude da fórmula de De Moivre:

que é válida para todo k Z . Use essas informações para:

a) Calcular

b) Sendo , calcular o valor de

Questão 49068

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 11)

A figura ao lado apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm.

a) Calcule o volume do prisma.

b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A’

Questão 49069

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 12)

Para resolver equações do tipo 1, podemos proceder do seguinte modo: comonão é uma raiz, divide-se a equação por e, após fazer a mudança de variáveis , resolve-se a equação obtida [na variável u]. Observe que, se  e  , então .

a) Ache as 4 raízes da equação

b) Encontre os valores de b R para os quais a equação 3 tem pelo menos uma raiz real positiva.

Questão 49070

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 13)

KATIE WENT TO HAITI

Refrain 1

Katie went to Haiti,
Stopped off for a rest.
Katie met a natie,
Katie was impressed.
After a week in Haiti
She started to go away,
Then Katie met another natie,
So Katie prolonged her stay.
After a month in Haiti
She decided to resume her trip,
But Katie met still another natie
And Katie missed the ship.
So Katie lived in Haiti,
Her life there, it was great,
’Cause Katie knew her Haiti
And practically all Haiti knew Katie
 

R. Kimball (ed.), The complete lyrics of Cole Porter. N. York: Da Capo, 1992.

Vocabulário de apoio:
• natie: native
• ’cause: because

Segundo a canção, quantas vezes Katie tentou deixar o Haiti e o que aconteceu nessas ocasiões?

Questão 49071

(UNICAMP - 2005 - 2a fase - Questão 14)

Who Sleeps?

Reptiles, birds and mammals all sleep. That is, they become unconscious of their surroundings for periods of time. Some fish and amphibians reduce their awareness but do not ever become unconscious like the higher vertebrates do. Insects do not appear to sleep, although they may become inactive in daylight or darkness. By studying brainwaves, it is known that reptiles do no dream. Birds dream a little. Mammals all dream during s leep. Different animals sleep in different ways. Some animals, like humans, prefer to sleep in one long session. Other animals (dogs, for example) like to sleep in many short bursts. Some sleep at night, while others sleep during the day. 

Really?

Cows can sleep while standing up, but they only dream if they lie down.

Whales and dolphins are “conscious breathers” and because they need to keep conscious while they sleep in order to breathe, only one half of their brain sleeps at a time.

Adaptado de http://health.howstuffworks.com/sleep.htm

O texto descreve algumas características curiosas das vacas e das baleias. Que características são essas?