Questão 33

AFA 2008

Matemática

(AFA - 2008)

Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos $z_1=-x-2i$ , $z_2=-2i$ , $z_3=-2+3i$ e $z_4=x+iy$ , onde x e y são números reais quaisquer e $i^2=-1$ .

Sobre o conjunto desses números complexos que atendem simultaneamente às condições

l) $Re(ar{z_1}cdot ar{z_2}) leq Im(ar{z_1}cdot ar{z_2})$

ll) $| z_3+z_4| leq 2$

é correto afirmar que

representa uma região plana cuja área é menor que 6 unidades de área.

possui vários elementos que são números imaginários puros.

possui vários elementos que são números reais.

seu elemento z de menor módulo possível possui afixo que pertence a reta (r) 3x + 2y = 0

Gabarito:

seu elemento z de menor módulo possível possui afixo que pertence a reta (r) 3x + 2y = 0

Resolução:

l) $Re(ar{z_1}cdot ar{z_2}) leq Im(ar{z_1}cdot ar{z_2})$

$ar{z_1}=-x+2i$ e $ar{z_2}=2i$

$ar{z_1}cdot ar{z_2}=-4-2xi$

$-4 leq -2x$

$x leq 2$

ll) $| z_3+z_4| leq 2$

$|-2+3i+x+iy|=|(x-2)+i(3+y)|$

$sqrt{(x-2)^2+(3+y)^2}leq 2$

$(x-2)^2+(3+y)^2leq 4$

A) A área é metade da área da circunferência:

$A=frac{pi 2^2}{2}=2pi=6,28$ , alternativa incorreta.

B) Só possui 1 elemento que é imaginário puro, alternativa incorreta.

C) Nao possui nenhum elemento que é real, alternativa incorreta.

D) O z de menor módulo possível está na reta entre a origem e o o centro $z_0=2-3i$

$y=-frac{3}{2}x$

$2y=-3x$

$2y+3x=0$ , alternativa correta.

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