Questão 35

AFA 2008

Matemática

(AFA - 2008)

Sejam as sequências de números reais (-3, x, y, ...) que é uma progressao aritmética de razao r, e (x, y, 24, ...) que é uma progressão geométrica de razão q.

O valor de $frac{r}{q}$ pertence ao intervalo

[0, $frac{1}{2}$ [

[ $frac{1}{2}$ , 1[

[1, 2[

[2, 3[

Gabarito:

[1, 2[

Resolução:

1) Temos que (-3, x, y, ...) é uma PA.

Logo, $x=frac{-3+y}{2}$

2) Temos que (x, y, 24, ...) é uma PG.

Logo, $y^2 = x cdot 24$

3) Com isso, temos um sistema de duas equações e duas incognítas. Fazendo a substituição da equação encontrada em 1 em 2:

$y^2 = frac{-3+y}{2} cdot 24$

4) Desenvolvendo:

$y^2 = (-3+y) cdot 12$

$y^2 = 12y-36$

$y^2 - 12y+36=0$

5) Aplicando Bháskara:

$y_{1,:2}=frac{-left(-12 ight)pm sqrt{left(-12 ight)^2-4cdot :1cdot :36}}{2cdot :1}$

$y=6$

6) Com isso, podemos encontrar o valor de x:

$x=frac{-3+6}{2}=frac{3}{2}$

7) Tendo os valores de x e y, podemos encontrar os valores de r e q.

8) Encontrando o valor de r:

$x = -3 + r$

$frac{3}{2} = -3 + r$

$r=frac{9}{2}$

9) Encontrando o valor de q:

$y=x cdot q$

$6 = frac{3}{2} cdot q$

$q=4$

10) Logo, temos que $frac{r}{q}=frac{frac{9}{2}}{4}=frac{9}{8}=1.125$

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