Questão 36

Gabarito:

Se , onde , e são números reais positivos, admite duas raízes simétricas, então, .

Resolução:

A)  Se , onde , e são números reais positivos, admite duas raízes simétricas, então, .

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Pelas Relações de Girard:  .

Se duas raízes são simétricas, então uma delas é  e a outra é . Dessa forma:

   →  é raiz do polinômio

       ⇒ correta

 

B)  O polinômio ao ser dividido por deixa resto 6 e ao ser dividido por deixa resto -2. Se dividido por deixa resto , entao .

• 

Pelo Teorema do Resto:

 

Da primeira e da terceira equação:  

Da segunda e da terceira equação:  

Como , então . Dessa forma:  

Podemos montar o segundo sistema:

    ⇒   e  

Desse modo:  . Mas, . .        ⇒ incorreta

 

C)  Se os números complexos , e são raízes do polinômio de coeficientes reais e termo independente nulo, então, o grau de ​​​​​​​ é, necessariamente, um numero par maior do que 4.

• Como os coeficientes são todos reais, concluímos que, para todas as raízes complexas, seus conjugados também são raízes. Assim:

, e  são raízes     → necessariamente   e   também são raízes.

Além disso, como o termo independente é nulo, sabemos que 0 também é raiz.

Desse modo, temos pelo menos 6 raízes.

Mas, não sabemos mais nada sobre as multiplicidades dessas raízes, então não há como afirmar que o grau será necessariamente um número par.     ⇒ incorreta

 

D)  Se no polinômio os coeficientes , e são números reais, então as possíveis raízes racionais de estão entre os divisores de 16, necessariamente.

• Uma condição necessária para o Teorema das Raízes Racionais é que todos os coeficientes devem ser inteiros. Não sabemos se , e  são inteiros, logo, não se pode aplicar o teorema.       ⇒ incorreta

 

Alternativa correta é Letra A.