Questão 37

AFA 2008

Matemática

(AFA - 2008)

Sabendo-se que $x_0=-i$ , $x_1=3$ e são raizes de $P(x)=x^6-3x^5+x^4-4x^3+3x^2-ax+3$ , onde $i$ é a unidade imaginária e $a$ é numero real, marque a alternativa FALSA.

O número $a$ tambem é raiz de $P(x)$ .

A soma das raízes reais de $P(x)$ é um numero par.

O produto das raízes imaginarias de $P(x)$ é diferente de $a$ .

$P(x)$ e divisível por $x^2+x+1$ .

Gabarito:

O produto das raízes imaginarias de $P(x)$ é diferente de $a$ .

Resolução:

A) Substituindo a raiz $-i$ em P:

$P(-i)=(-i)^6-3(-i)^5+(-i)^4-4(-i)^3+3(-i)^2-a(-i)+3$

$-1+3i+1-4i-3+ai+3=0$

$ai=i$ → $a=1$

Substituindo o valor de $a$ em P:

$P(1)=1-3+1-4+3-1+3$

$P(1)=0$ → também é raiz, alternativa correta.

B) Como todos os coeficientes de P são reais, então todos os conjugados das raízes imaginárias também são raízes.

$x_0=-i$ → $i$ também é raiz

$x_1=3$

_→ também é raiz

Todas as raízes: $-frac{1}{2}-ifrac{sqrt{3}}{2}$ , $-frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2}$ , $i$ , $-i$ , 3 e 1.

Soma das raízes reais: 4, que é par, alternativa correta.

C) Produto das raízes imaginarias: $left ( -frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2} ight )left ( -frac{1}{2}-ifrac{sqrt{3}}{2} ight ) cdot i cdot (-i)=1$ , que é igual a $a$ , alternativa incorreta.

D) Raízes de $x^2+x+1$ :

$x^2+x+1=0$

$Delta =1-4=-3$

Raízes: $x=-frac{1}{2}pm ifrac{sqrt{3}}{2}$ , que também são raízes de P.

Logo, P é divisível por $x^2+x+1=left ( x+frac{1}{2} - ifrac{sqrt{3}}{2} ight )left ( x+frac{1}{2} + ifrac{sqrt{3}}{2} ight )$ , alternativa correta.

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