Questão 41

AFA 2008

Matemática

(AFA - 2008)

Analise cada proposição a seguir classificando-a como VERDADEIRA ou FALSA.

l) Sejam as matrizes A = (a_ij)_3xne B = (b_jk)_nx4 (n $geq$ 1) entao a matriz C = A.B e tal que o elemento c₂₁ = $sum_{j-1}^{4}$ a_2j . b_j1.

ll) A e B sao matrizes inversíveis de ordem n. Se AYB = 2B^t, onde B^t é a transposta de B, o determinante da inversa de A é igual a $frac{1}{4}$ e o determinante de B é igual a $frac{1}{2}$ , entao o determinante da matriz Y e igual a 2^n-2.

lll) Seja a matriz A = $egin{bmatrix} 1 & 0\ 1& 1 end{bmatrix}$ então Aⁿ = $egin{bmatrix} 1 & 0\ n& 1 end{bmatrix}$ , n $in mathbb{N}^{*}$ .

É correto afirmar que são verdadeiras

todas as proposições.

apenas II e III.

apenas I e II.

apenas I e III.

Gabarito:

apenas II e III.

Resolução:

l) Sejam as matrizes A = (aij)3xn e B = (bjk)nx4 (n $geq$ 1) entao a matriz C = A.B e tal que o elemento c21 = $sum_{j-1}^{4}$ a2j . bj1.

$egin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n}\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n}\ a_{3,1} & a_{3,2} & ... & a_{3,n} end{bmatrix} cdot egin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} & b_{4,1}\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} & b_{2,4}\ ... & ... & ... & ...\ b_{n,1} & b_{n,2} & b_{n,3} & b_{n,4} end{bmatrix}=M$

Logo, o elemento $c_{2,1}$ de M é dado por: $c_{2,1}=a_{2,1}b_{1,1}+a_{2,2}b_{2,1}+...+a_{2,n}b_{n,1}=sum_{j=1}^{n}a_{2,j}cdot b_{j,1}$

Não podemos afirmar que $n=4$ . → Alternativa incorreta.

ll) A e B sao matrizes inversíveis de ordem n. Se AYB = 2Bt, onde Bt é a transposta de B, o determinante da inversa de A é igual a $frac{1}{4}$ e o determinante de B é igual a $frac{1}{2}$ , entao o determinante da matriz Y e igual a 2n-2.

$det(AYB)=det(2B^t)$