Questão 43

AFA 2008

Matemática

(AFA - 2008)

A circunferência ( $lambda$ ) x² + y² - 2x - 2y + k = 0 passa pelo ponto A(0, 1). Sabendo-se que o ponto P de ( $lambda$ ) mais próximo da origem coincide com o baricentro do triângulo MNQ, onde M(0, k), N(2k, 0) e Q(x_Q, y_Q) é correto afirmar que a área do triângulo MNQ é um número do intervalo

[1, $frac{3}{2}$ [

[ $frac{3}{2}$ , 2[

[2, $frac{5}{2}$ [

[ $frac{5}{2}$ , 3[

Gabarito:

[ $frac{3}{2}$ , 2[

Resolução:

1) A circunferência passa pelo ponto $(0,1)$ :

$x^2+y^2-2x-2y+k=0$

$1^2-2+k=0$

$k=1$

2) $x^2-2x+1+y^2-2y+1=1$

$(x-1)^2+(y-1)^2=1$

Ponto P está na reta $x=y$ , vamos substituir na equação então:

$(x-1)^2+(x-1)^2=1$

$2x^2-4x+1=0$

$x=frac{2pm sqrt{2}}{2}$

Logo, o ponto P é dado por: $P=left (frac{2- sqrt{2}}{2} , frac{2- sqrt{2}}{2} ight )$

3) P é o baricentro do triângulo formado pelos pontos $M=(0,1)$ , $M=(2,0)$ e Q.

• $1-frac{sqrt{2}}{2}=frac{0+2+x_Q}{3}$

$x_Q=1-frac{3sqrt{2}}{2}$

• $1-frac{sqrt{2}}{2}=frac{1+0+y_Q}{3}$

$x_Q=2-frac{3sqrt{2}}{2}$

4) Área desse triângulo:

$2A=egin{vmatrix} 0 & 1\ 2 & 0\ 1-frac{3sqrt{2}}{2} & 2-frac{3sqrt{2}}{2}\ 0 & 1 end{vmatrix}$

$2A=|4-3sqrt{2}+1-frac{3sqrt{2}}{2}-2 |$

$2A=|3-frac{9sqrt{2}}{2} |$

$A=|frac{3}{2}-frac{9sqrt{2}}{4} |$

$aapprox 1,68$ → intervalo [ $frac{3}{2}$ , 2[

Alternativa correta é Letra B.

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