Questão 60

AFA 2008

Matemática

(AFA - 2008)

Seja S a região do plano dada por $left{egin{matrix} 2x+yleq 16\ x-yleq 2 \ x-2geq 0 end{matrix} ight.$

O volume do sólido gerado pela rotação de 360° de S em torno da reta x + 1 = 0 é, em unidade de volume, igual a

208 $pi$

235 $pi$

252 $pi$

316 $pi$

Gabarito:

208 $pi$

Resolução:

$A=(2,12)$ , $B=(6,4)$ , $C=(2,0)$ , $D=(-1,18)$ , $E=(-1,-3)$ , $F=(-1,4)$ .

O triângulo de vértices A, B e C será rotacionado ao redor da reta em preto, $x+1=0$ .

Note que a rotação do triângulo BED ao redor da reta $x+1=0$ formaria um sólido que seria como dois cones colados um ao outro pela base. Logo, a rotação de ABC forma um sólido similar a dois troncos de cone colados pelas bases e com um furo passante nessa base. Vamos calcular por partes então:

1) Tronco de cone superior.

$V_1=frac{pi h[r_1^2+r_1r_2+r_2^2]}{3}$ , $h=12-4=8$ , $r_1=2-(-1)=3$ e $r_2=6-(-1)=7$

$V_1=frac{8pi [9+21+49]}{3}$

$V_1=frac{8pi cdot 79}{3}$

2) Tronco de cone inferior.

$V_2=frac{pi H[R_1^2+R_1R_2+R_2^2]}{3}$ , $H=4-0=4$ , $R_1=2-(-1)=3$ e $R_2=6-(-1)=7$

$V_1=frac{4pi [9+21+49]}{3}$

$V_1=frac{4pi cdot 79}{3}$

3) Volume do furo passante.

Raio do furo: $p=2-(-1)=3$ . Comprimento do furo: $d=12-0=12$ .

$V_p=pi p^2 d$

$V_p=108pi$

4) Volume do sólido gerado.

$V=V_1+V_2-V_p$

$V=frac{12pi cdot 79}{3}-108pi$

$V=316pi-108pi$

$V=208pi$

Alternativa correta é Letra A.

Questões relacionadas

Questão 31

(AFA - 2008) Analise as alternativas abaixo e marque a correta.

Ver questão

Questão 32

(AFA - 2008) Um fabricante de camisetas que pretendia vender seu estoque no prazo de 4 meses, mantendo o preco de cada camiseta, obteve o seguinte resultado: no primeiro mês, vendeu 10% de s...

Ver questão

Questão 33

(AFA - 2008) Considere no Plano de Argand-Gauss os números complexos , , e , onde x e y são números reais quaisquer e . Sobre o conjunto desses números complexos que ate...

Ver questão

Questão 34

(AFA - 2008) Um cão e um gato, ambos parados, observam-se a uma distancia de 35 m. No mesmo instante, em que o cão inicia uma perseguição ao gato, este parte em fuga. O c...

Ver questão