Questão 22

AFA 2010

Matemática

(AFA - 2010)

Sejam z = x + yi (x $in mathbb{R}*$ , y $in mathbb{R}*$ e i a unidade imaginária), $ar{z}$ oconjugado de z e $lambda$ o lugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano cartesiano para os quais z. $ar{z}$ = 2x + 3. Se A e B são os pontos de interseção de $lambda$ com o eixo $overline{Oy}$ e se A' é o ponto de interseção de $lambda$ com o eixo $overline{Ox}$ que possui amenor abscissa, então a área do triângulo A'AB é, em unidades de área, igual a

$2sqrt{3}$

$2sqrt{2}$

$sqrt{3}$

$sqrt{2}$

Gabarito:

$sqrt{3}$

Resolução:

Calculando:

$z cdot overline{z} = 2x+3$

$(x+yi) cdot (x-yi) = 2x+3$

$x^2 + y^2 = 2x+3$

$x^2 + y^2 -2x-3=0$

Encontrando A e B:

$x=0 Rightarrow y^2 -3=0$

$x=0 Rightarrow y=pm sqrt{3}$

Então $A= (0, sqrt{3})$ e $B= (0, -sqrt{3})$ .

Encontrando A':

$y=0 Rightarrow x^2-2x-3=0$

$y=0 Rightarrow x=3 ext{ou} x=-1$

Como deve ser menor, temos $A = (-1,0)$ .

Podemos ver que $overline{AB} = 2sqrt{3}$ e a distância de A' até a origem é 1. Então temos:

Calculando a área:

$A = frac{bcdot h}{2} = frac{2sqrt{3}cdot 1}{2} = sqrt{3}$

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