Questão 24

AFA 2010

Matemática

(AFA - 2010)

Observe a função polinomial P esboçada no gráfico abaixo.

Sabe-se que x = 0 ou x = 2 são raízes de P e que 0 resto da divisão de P(x) por [(x - 2).(x - 1).x ] é R(x)

As raízes de R(x) são números

A

inteiros pares.

B

inteiros ímpares.

C

fracionários opostos.

D

irracionais opostos.

Gabarito:

inteiros pares.

Resolução:

Observando o gráfico de $P(x)$ podemos ver que:

$P(0) =0, P(1) = frac{1}{2}, P(2)=0$

Dividindo o polinômio por $[(x-2)cdot (x-1) cdot x]$ :

$P(x) = [(x-2)cdot (x-1) cdot x]cdot Q(x) + R(x)$

Fazendo $x=0$ :

$P(0) = [-2cdot -1 cdot 0]cdot Q(0) + R(0)$

$0 = 0cdot Q(0) + R(0)$

$0 = R(0)$

Fazendo $x=1$ :

$P(1) = [-1cdot 0 cdot 1]cdot Q(1)+ R(1)$

$frac{1}{2} = R(1)$

Fazendo $x=2$ :

$P(2) = 0cdot 1 cdot 2cdot Q(2) + R(2)$

$0 = R(2)$

Então temos que as raízes de $R(x)$ são 0 e 2. Encontrando o coeficiente $a$ de $R(x)$ :

$R(x) = a(x-0)(x-2)$

$R(1) = -a$

$frac{1}{2}= -a$

$-frac{1}{2}= a$

Então:

$R(x) = -frac{1}{2}cdot(x-0)cdot(x-2)$

Então as suas raízes são pares.

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