Questão 32

AFA 2010

Matemática

QUESTÃO ANULADA!!

(AFA - 2010)

Considere a reta r simétrica da reta (s) 2x + y - 2 = 0 em relação à reta (t) x - 3y - 2 = 0.

Com base nisso, marque a alternativa verdadeira.

a) Se $frac{-10}{3}< y< 0$ então $rcap t=varnothing$

b) $exists$ P(x, y) $in$ r tal que x < 0 e y > 0

c) Na reta r, se x > $frac{8}{7}$ então y < $-frac{2}{7}$

d) $exists$ P(x, y) $in$ r tal que x > 0 e y < $-frac{10}{3}$

QUESTÃO ANULADA!!

A

MARQUE A ALTERNATIVA [C]

B

MARQUE A ALTERNATIVA [C]

C

PRÓXIMA QUESTÃO

D

MARQUE A ALTERNATIVA [C]

Gabarito:

PRÓXIMA QUESTÃO

Resolução:

Construindo o gráfico:

Como r é a simétrica de s com relação à t. Assim, a reta t funciona como “um espelho” e a reflexão da reta s por esse espelho é a reta r. Portanto qualquer ponto de t será equidistante das retas r e s.

Com o ponto $(2,0) in t$ a distância de r a esse ponto é o mesmo que de s a esse mesmo ponto.

E a reta r deve passar pela intersseção de s e t, encontrando a intersseção com o sistema:

(I): $2x_i + y_i -2 =0$

(II): $x_i - 3y_i - 2 =0$

$Leftrightarrow x_i = frac{8}{7} ext{ e } y_i=-frac{2}{7}$

Logo a equação da reta r:

$y+frac{2}{7}=m(x-frac{8}{7}) Leftrightarrow mx-y-(frac{8m+2}{7}) = 0$

Usando a hipótese da distância ao ponto $(2,0) in t$ :

$ext{dist(r,(2,0))} = ext{dist(r,(2,0))} Leftrightarrow$

$Leftrightarrow frac{|2m-(frac{8m+2}{7})|}{sqrt{m^2+1}} = frac{|2cdot 2 -2|}{sqrt{5}}$

$Leftrightarrow frac{|3m-1|}{7sqrt{m^2+1}} = frac{1}{sqrt{5}}$

$Leftrightarrow frac{(3m-1)^2}{49(m^2+1)} = frac{1}{5}$

$Leftrightarrow 49m^2 + 49 = 45m^2 - 30m + 5$

$Leftrightarrow 2m^2 + 15m+22 =0$

$Leftrightarrow m=-2 ext{ ou } m=-frac{11}{2}$

Perceba que se $m=-2$ as retas s e r serão iguais, logo $m=-frac{11}{2}$ :

$(r): 11x+2y-12=0$

Com isso vamos ter 2 opções verdadeiras.

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