Questão 36

AFA 2010

Matemática

(AFA - 2010)

Considere o esboço dos gráficos das funções reais f, g e h, tais que f é do2° grau e g e h são do 1° grau.

Sabe-se que V é o vértice da parábola.

O conjunto de todos os valores de x para os quais h(x) > g(x) > f(x) é

$mathbb{R}$ - ]1, 5[

$mathbb{R}$ - [1, 5]

$mathbb{R}$ - [1, 3]

$mathbb{R}$ - ]1, 3[

Gabarito:

$mathbb{R}$ - [1, 5]

Resolução:

Note que $h(x) > g(x)$ , logo temos que encontrar apenas os pontos em que $f(x) < g(x)$ .

Encontrando a equação de $g(x)$ :

$g(0) = 1 Rightarrow acdot 0 + b = 1 Rightarrow b=1$

$g(1) = 0 Rightarrow acdot 1 + b = 0 Rightarrow a=-1$

Logo:

$g(x) = -x+1$

Sobre a $f(x)$ , podemos ver que suas raízes são 3 e 1, logo podemos escrever como:

$f(x) = a(x-1)(x-3)$

Como o eixo da parábola é simétrico em relação às raízes, temos que o $x_v$ será a média das raízes, no caso será $x_v = 2$ . Encontrando a:

$f(2) = frac{1}{2}$

$f(2) = a(2-1)(2-3) = frac{1}{2}$

$a= -frac{1}{2}$

Encontrando o que é preciso:

$g(x) > f(x)$

$-x+1 > frac{1}{2}(x-1)(x-3)$

$-x+1 > -frac{1}{2}x^2 +2x-frac{3}{2}$

$0> -frac{1}{2}x^2 +3x-frac{5}{2}$

$frac{1}{2}x^2 -3x+frac{5}{2} > 0$

$x^2 -6x+5 > 0$

$x>1$ e $x<5$

Logo o intervalo $[1,5]$ não é querido na questão

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