Questão 44

AFA 2013

Física

(AFA - 2013)

Uma pequena esfera de massa m é mantida comprimindo uma mola ideal de constante elástica k de tal forma que a sua deformação vale x. Ao ser disparada, essa esfera percorre a superfície horizontal até passar pelo ponto A subindo por um plano inclinado de 45° e, ao final dele, no ponto B, é lançada, atingindo uma altura máxima H e caindo no ponto C distante 3h do ponto A, conforme figura abaixo.

Considerando a aceleração da gravidade igual a g e desprezando quaisquer formas de atrito, pode-se afirmar que a deformação x é dada por

Gabarito:

Resolução:

1) Cálculo da velocidade de saída da bola pelo plano inclinado por conservação de energia:

$E_{f} = E_{0}$

$frac{Kx^2}{2} = frac{mv^2}{2}+mgh Rightarrow v = sqrt{frac{kx^2}{m}-2gh}$

2) A bola é lançada com ângulo de 45° do plano inclinado.. escreveremos as equações de movimento da bola:

$X = X_{0} + v_{0x}cdot t Rightarrow X = h + vcdot frac{sqrt{2}}{2}cdot t$

$Y = Y_{0} + v_{0y}t +frac{a_{y}t^2}{2}Rightarrow Y = h + vcdot frac{sqrt{2}}{2}cdot t - frac{gt^2}{2}$

Pela questão, sabemos que Para Y = 0, temos X = 3h, logo:

$t = frac{2sqrt{2}h}{v}$

Substituindo em y:

$0 = h + vcdot frac{sqrt{2}}{2}cdot frac{2sqrt{2}h}{v} - frac{g(frac{2sqrt{2}h}{v})^2}{2}$

$frac{4gh^2}{v^2} = 3h Rightarrow v = sqrt{frac{4gh}{3}}$

3) Igualando as expressões obtidas para a velocidade, temos que:

$sqrt{frac{4gh}{3}} = sqrt{frac{kx^2}{m}-2gh}$

$herefore x = sqrt{frac{10mgh}{3k}}$

Como o x encontrado não satisfaz nenhuma das alternativas, iremos escrevê-lo em função de H, da seguinte forma:

*) Calculando a relação entre H e h por conservação de energia:

$E_{0} = E_{f} Rightarrow mgh + frac{mv^2}{2} = mgH + frac{mv_{x}^2}{2}$ pois $v_{y} = 0$ no ponto de altura máxima

Como

$v = sqrt{frac{4gh}{3}}$ (já calculado) e $v_{x} = vcdot frac{sqrt{2}}{2} = sqrt{frac{2gh}{3}}$

$mgh+frac{m(sqrt{frac{4gh}{3}})^2}{2} = mgH+ frac{m(sqrt{frac{2gh}{3}})^2}{2}$

$h = frac{3H}{4}$

$herefore x = sqrt{frac{5mgH}{2k}}$

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